1994年高校招生全国数学统一考试(理工农医类)

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2004-8-16

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.

　　第Ｉ卷(选择题共65分)

一、选择题(本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

　　选项中,只有一项是符合题目要求的)

　1.设全集Ｉ=｛0,1,2,3,4｝,集合A=｛0,1,2,3｝,集合B=｛2,3,4｝,则

　　A.｛0｝　　　B.｛0,1｝　　　C.｛0,1,4｝　　　D.｛0,1,2,3,4｝

　2.如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

　　A.(0,+∞)　　B.(0,2)　　　　C.(1,+∞)　　　　D.(0,1)

　3.极坐标方程ρ=cos(π/4-θ)所表示的曲线是

　　A.双曲线　　　　B.椭圆　　　　　C.抛物线　　　　　　D.圆

　4.设θ是第二象限的角,则必有

　　A.tg(θ/2)＞ctg(θ/2)　　　　　　　 B.tg(θ/2)＜ctg(θ/2)

　　C.sin(θ/2)＞cos(θ/2)　　　　　　　D.sin(θ/2)＜cos(θ/2)

　5.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖

　　成

　　A.511个　　　B.512个　　　　C.1023个　　　　D.1024个

　6.在下列函数中，以π/2为周期的函数是

　　A.y=sin2x+cos4x　　　B.y=sin2xcos4x　　　C.y=sin2x+cos2x　　　D.y=sin2xcos2x

　7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

　　A.32

　　　B.28

　　　　C.24

　　　　D.20

　8.设F₁和F₂为双曲线x²/4-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°,则△F₁PF₂的面积是

　　A.1　　　　　B.

/2　　　　C.2　　　　　　D.

　9.如果复数Z满足│Z+i│+│Z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是

　　A.1　　　　　B.

　　　　　C.2　　　　　　D.

　10.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同

　　的选法共有

　　A.1260种　　　B.2025种　　　C.2520种　　　D.5040种

　11.对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

　　

　12.设函数f(x)=1-

(-1≤x≤0)，则函数y=f^-1(x)的图象是

　　

　13.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是

　　A.16π/9　　　　　B.8π/3　　　　　C.4π　　　　　　D.64π/9

　14.函数y=arccos(sinx)(-π/3＜x＜2π/3)的值域是

　　A.(π/6,5π/6)　　B.[0,5π/6)　　　C.(π/3,2π/3)　　D.(π/6,2π/3)

　15.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果

　　f(x)=lg(10^x+1),x∈(-∞,+∞),那么

　　

　　第Ⅱ卷(非选择题共85分)

二、填空题(本大题共5小题,共6个空格:每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)

　16.在(3-x)⁷的展开式中,x⁵的系数是____(用数作答).

　17.抛物线y²=8-4x的准线方程是____，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____.

　18.已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是____.

　19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为

，AB和圆锥的轴的距离

　　为1,则该圆锥的体积为____.

　20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a₁,a₂,…,a_n,共n个数据.我

　　们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.

　　依此规定,从a₁,a₂,…,a_n推出的a=____.

三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

　21.(本小题满分11分)

　　已知 z=1+i

　　(1)设

,求ω的三角形式；

　　(2)如果

,求实数a,b的值.

　22.(本小题满分12分)

　　以知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x₁,x₂∈(0,π/2),且x₁≠x₂,

　　证明：[f(x₁)+f(x₂)]/2＞f[(x₁+x₂)/2]

　23.(本小题满分12分)

　　如图,已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,D是AC中点.

　　　　　　

　　(1)证明AB₁∥平面DBC₁；

　　(2)假设AB₁⊥BC₁,求以BC₁为棱,DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数.

　24.(本小题满分12分)

　　已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的

　　对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

　　　　　

　25.(本小题满分14分)

　　设数列｛a_n｝的前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

　　(1)写出数列｛a_n｝的前3项；

　　(2)求数列｛a_n｝的通项公式(写出推证过程)；

　　(3)令

(n∈N),求

　参考答案：

　一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

　　1.C　　2.D　　3.D　　4.A　　5.B

　　6.D　　7.B　　8.A　　9.A　　10.C

　　11.C　　12.B　　13.D　　14.B　　15.C

　二、填空题(本题考查基本知识和基本运算. 每空格4分,共24分)

　　16.-189　　　17.x=3,(x-2)²+y²=1　　　18.-3/4

　　19.2

π/3　　　20.(a₁+a₂+…+a_n)/n

　三、解答题

　　21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力。

　　解:(1)

　　　　　　＝2i+3(1-i)-4＝-1-i

　　　　　ω的三角形式是　

(cos5π/4+isin5π/4)

　　　 (2)由z=1+i,有

　　　　　　

　　　　由题设条件知　(a+2)-(a+b)i=1-i

　　　　根据复数相等的定义，得　a+2=1　　　　　解得　a=-1
　　　　　　　　　　　　　　　　-(a+b)=-1　　　　　　b=2

　22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.

　　证明:
　　　　　

　　　　　∵x₁,x₂∈(0,π/2), x₁≠x₂　∴2sin(x₁+x₂)＞0,cosx₁cosx₂＞0

　　　　　　且0＜cos(x₁-x₂)＜1, 从而有

　　　　　　0＜cos(x₁+x₂)+cos(x₁-x₂)＜1+cos(x₁+x₂)

　　　　　　由此得　tgx₁+tgx₂＞2sin(x₁+x₂)/(1+cos(x₁+x₂))

　　　　　　∴(tgx₁+tgx₂)/2＞tg((x₁+x₂)/2)

　　　　　　即 [f(x₁)+f(x₂)]/2＞f((x₁+x₂)/2)

　23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.

　　(1)证明:　∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,

　　　∴四边形B₁BCC₁是矩形.连结B₁C,交BC₁于E,则B₁E=EC.连结DE.

　　　在△AB₁C中,∵AD=DC,　∴DE∥AB₁,

　　　

　　　∴AB₁∥平面DBC₁.

　　　　　　　　　　　　　　

　　(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B₁BCC₁,连结EF,则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影.

　　　∵AB₁⊥BC₁,　由(1)知AB₁∥DE,　∴DE⊥BC₁,

　　　则BC₁⊥EF,　∴∠DEF是二面角α的平面角.

　　　设AC=1,则DC=1/2.　∵△ABC是正三角形,

　　　∴在Rt△DCF中,　DF=DC·sinC=

/4,CF=DC·cosC=1/4

　　　取BC中点G.　∵EB=EC,　∴EG⊥BC.

　　　在Rt△BEF中,　EF²=BF·GF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4

　　　∴EF²=(3/4)·(1/4),即EF=

/4.

　　　∴tg∠DEF=DF/EF=1　　∴∠DEF=45°.

　　　故二面角α为45°.

　24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题

　　　的能力.

　　解:依题设抛物线C的方程可写为　y²=2px (p＞0),

　　且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为

　　　y=kx (k≠0)　　①

　　设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为

　　　y=-(x+1)/k　　②

　　由①②联立解得AA'与l的交点M的坐标为(-1/(k²+1),-k/(k²+1))

　　又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为

　　　

　　　③

　　同理得点B'的坐标为

　　　

　　　④

　　又A'、B'均在抛物线y²=2px(p＞0)上,由③得

　　

　　但当　k=(1-

)/2　时，由③知X_A=

/5＜0,这与A'在抛物线y²=2px(p＞0)上矛盾,

　　故舍去k₂=(1-

)/5

　　设k=(1+

)/2,则直线方程为y=(1+

)x/2

　　将k=(1+

)/2代入⑤，求得 p=2

/5

　　所以直线方程为 y=(1+

)x/2　　抛物线方程为 y²=4

x/5

　25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题

　　的能力.

　　解：(1)由题意,当n=1时有 (a₁+2)/2=

　　S₁=a₁

　　　∴(a₁+2)/2=

　解得：a₁=2.

　　　当n=2时有(a₂+2)/2=

, S₂=a₁+a₂将a₁=2代入，整理得

　　　(a₂-2)²=16.　由a₂＞0,解得 a₂=6.

　　　当n=3时有(a₃+2)/2=

, S₃=a₁+a₂+a₃将a₁=2,a₂=6代入，整理得

　　　(a₃-2)²=64.　由a₃＞0,解得 a₃=10.

　　　故该数列的前3项为2,6,10.

　　(2)解:由(1)猜想数列{a_n}有通项公式a_n=4n-2.

　　　下面用数学归纳法证明数列{a_n}的通项公式是　　　a_n=4n-2 (n∈N).

　　①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a₁=2,所以上述结论成立.

　　②假设n=k时结论成立,即有a_k=4k-2.由题意,有　　(a_k+2)/2=

　　将a_k=4k-2代入上式,得 2k=

,解得S_k=2k².

　　由题意,有

　　

　　由a_k+1＞0,解得: a_k+1=2+4k. 所以 a_k+1=2+4k=4(k+1)-2.

　　这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

　　根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

　　(3)解:令c_n=b_n-1,则

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